计算圆周率公式发展简史

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F. Vieta(1540-1603):

$$ \frac{\pi}{2}=\frac{2}{\sqrt{2}}\times\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\times\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\times\cdots $$

J. Wallis(1616-1703):

$$ \frac{\pi}{2}=\frac{2}{1}\times\frac{2}{3}\times\frac{4}{3}\times\frac{4}{5}\times\frac{6}{5}\times\frac{6}{7}\times\cdots $$

Lord William Brouncker(1620?-1684):

$$ \cfrac4{\pi}=1+\cfrac1{2+\cfrac{9}{2+\cfrac{25}{2+\cfrac{49}{2+\cdots}}}} $$

J. Gregory(1638-1675)和莱布尼茨G. W. Leibniz(1646-1716):

$$ \frac{\pi}{4}=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}\cdots $$

$$ \frac{\pi}{4}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1} $$

以上的公式都收敛的很慢。

马青公式John Machin(1706):

$$ π=16\cdot arctan\frac15-4\cdot arctan\frac1{239} $$

上式可以这样展开:

$$ \begin{equation*} \begin{split} \frac{π}{4}=4&\times(\frac{1}{1\times5^1}-\frac{1}{3\times5^3}+\frac{1}{5\times5^5}-\frac{1}{7\times5^7}+\cdots) \\ &-(\frac{1}{1\times239^1}-\frac{1}{3\times239^3}+\frac{1}{5\times239^5}-\frac{1}{7\times239^7}+\cdots) \end{split} \end{equation*} $$

马青用这个公式计算到了圆周率100位。

欧拉Leonhard Euler (1707-1783)的成名之作:

$$ \frac{\pi^2}{6}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots $$

另欧拉也得出了与马青相似的公式:

$$ π=20\cdot arctan\frac17-8\cdot arctan\frac3{79} $$

高斯也不甘示弱C. F. Gauss(1777-1855):

$$ \pi=48arctan\frac{1}{18}+32arctan\frac{1}{57}-20arctan\frac{1}{239} $$

$$ \pi=48arctan\frac{1}{38}+80arctan\frac{1}{57}+28arctan\frac{1}{239}+96arctan\frac{1}{268} $$

拉马努金Srinivasa Ramanujan(1914):

$$ \frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{99^{2}}*\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(26390k+1103)}{396^{4k}}*\frac{(4k)!}{(k!)^4}} $$

能直接算第N位的十六进制数(1997):

$$ \pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right) $$


现代通过计算机,对拉马努金的公式进一步改进,得到了收敛更快的公式,如:

$$ \frac{1}{\pi}=12\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(-1)^k(6k)!(545140134k+13591409)}{(3k)!(k!)^3(640320)^{3k+\frac32}} $$

加拿大数学家Peter和Jonathan Borwein在1987年得到了以下超级公式:

$$ \frac{1}{\pi}=12\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n(6n)!(a+bn)}{(n!)^4(3n)![5280(236674 + 30303\sqrt{61})]^{3n+\frac23}} $$

其中:

$$ a = 212175710912\sqrt{61} + 1657145277365 $$

$$ b = 13773980892672\sqrt{61} + 107578229802750 $$


更多资料可参考这本PDF👉: Pi History

B站上也有个有意思的视频:为什么方块碰撞能够用来计算π?

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    吾柯
    3周前
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    还是大佬强👍