勾股定理是什么？

勾股定理，又称毕达哥拉斯定理（Pythagoras theorem）、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理，是平面几何中一个基本而重要的定理。勾股定理说明，平面上的直角三角形的两条直角边的长度（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方。反之，若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方，则它是直角三角形（直角所对的边是第三边）。

详细定理表述为：在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是 $a$ 和 $b$，斜边长度是$c$，那么可以用数学语言表达：

$$a^2+b^2=c^2$$

关于它的证明目前已经有500多种，如微分证明，面积证明等，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

证明方法

这里只给出利用相似三角形的证法

设 $ABC$为一直角三角形，直角于$\mathrm{\angle }C$（如上图）。从点$C$画上三角形的高，并将此高与$AB$的交叉点称之为$H$。此新 $△ACH$和原本的$△ABC$ 相似，因为在两个三角形中都有一个直角（这又是由于“高”的定义），而两个三角形都有$A$这个共同角，由此可知第三只角都是相等的。同样道理，$△CBH$和$△ABC$也是相似的。这些相似关系衍生出以下的比率关系：

因为

$$BC=a,AC=b,\text{ and }AB=c,$$

所以

$$\frac{a}{c}=\frac{HB}{a}\text{ and }\frac{b}{c}=\frac{AH}{b}.$$

可以写成

$$a^2=c\times HB\text{ and }{b}^2=c\times AH.$$

综合这两个方程，我们得到

$$a^2+b^2=c\times HB+c\times AH=c\times (HB+AH)=c^2.$$

换句话说:

$$a^2+b^2=c^2.$$

总之，勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。它的主要意义有：

1、勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。

2、勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。

3、勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。

4、勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。

不过有一点需要注意，勾股定理是由欧几里得几何的公理推导出来的，其在非欧几里得几何中是不成立的。因为勾股定理的成立涉及到了平行公设。

参考资料：

维基百科：勾股定理

搜狐：建筑工人联盟勾股定理