证明方法最多的定理之一--勾股定理

  • 2020 年 02 月 19 日
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勾股定理是什么?

勾股定理,又称毕达哥拉斯定理(Pythagoras theorem)、商高定理新娘座椅定理百牛定理,是平面几何中一个基本而重要的定理。勾股定理说明,平面上的直角三角形的两条直角边的长度(古称勾长、股长)的平方和等于斜边长(古称弦长)的平方。反之,若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方,则它是直角三角形(直角所对的边是第三边)。

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详细定理表述为:在平面上的一个直角三角形中,两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是 $a$ 和 $b$,斜边长度是$c$,那么可以用数学语言表达:

$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$

关于它的证明目前已经有500多种,如微分证明,面积证明等,是数学定理中证明方法最多的定理之一。

证明方法

这里只给出利用相似三角形的证法

勾股定理证明

设 $ABC$为一直角三角形,直角于$ {\angle C} $(如上图)。从点$C$画上三角形的高,并将此高与$AB$的交叉点称之为$H$。此新 ${\bigtriangleup ACH}$和原本的$ {\bigtriangleup ABC}$ 相似,因为在两个三角形中都有一个直角(这又是由于“高”的定义),而两个三角形都有$A$这个共同角,由此可知第三只角都是相等的。同样道理,${\bigtriangleup CBH} $和${\bigtriangleup ABC}$也是相似的。这些相似关系衍生出以下的比率关系:

因为

$${BC=a,AC=b,{\mbox{ and }}AB=c,\!} $$

所以

$${ {\frac {a}{c}}={\frac {HB}{a}}{\mbox{ and }}{\frac {b}{c}}={\frac {AH}{b}}.\\} $$

可以写成

$${\ a^{2}=c\times HB{\mbox{ and }}b^{2}=c\times AH.\\} $$

综合这两个方程,我们得到

$${\ a^{2}+b^{2}=c\times HB+c\times AH=c\times (HB+AH)=c^{2}.\,\!} $$

换句话说:

$${\ a^{2}+b^{2}=c^{2}.\,\!} $$

总之,勾股定理,是几何学中一颗光彩夺目的明珠,被称为“几何学的基石”,而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。它的主要意义有:

1、勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。

2、勾股定理导致不可通约量的发现,从而深刻揭示了数与量的区别,即所谓“无理数"与有理数的差别,这就是所谓第一次数学危机。

3、勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。

4、勾股定理中的公式是第一个不定方程,也是最早得出完整解答的不定方程,它一方面引导到各式各样的不定方程,另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。

不过有一点需要注意,勾股定理是由欧几里得几何的公理推导出来的,其在非欧几里得几何中是不成立的。因为勾股定理的成立涉及到了平行公设。

参考资料:

维基百科:勾股定理

搜狐:建筑工人联盟勾股定理


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